Aturan Perkalian
Misalkan terdapat n tempat yang tersedia dengan:
- P1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama
- P2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi
- P3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi
- Pn adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat kedua, ketiga, …, (n-1) terisi
- Dari pernyataan di atas, maka dapat disimpulkan banyak cara untuk mengisi n tempat secara keseluruhan adalah:
P1 x P2 x P3 x …. x Pn
Diketahui angka-angka 0,1,2,3,4. berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut jika tidak boleh ada angka yang sama !
Jawab
Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan
- Nilai Ratusan (angka pertama) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 1, 2, 3, 4 (misalnya angka 2)
- Nilai puluhan (angka kedua) dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu 0,1,3,4 (misalnya angka 4)
- Nilai satuan (angka ketiga) dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu 0,1,3 (misalnya angka 0)
- Sehingga diperoleh 4 x 4 x 3 = 48 bilangan
- Pengantar.
- Kombinatorial adalah cabang matematika yang mem-pelajari pengaturan obyek–obyek.
Percobaan :
- Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan atau kejadian. Percobaan ada-lah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.
Contoh :
- Melempar dadu. Ada 6 hasil yang mungkin yaitu 1,2,3,4,5, dan 6.
- Melempar koin. Ada 2 hasil (H,T).
- Mengambil 1 kartu dari kartu bridge. Ada 52 hasil.
- Kaidah Dasar Menghitung Ada dua kaidah dasar untuk mengitung kombinatorial,
- Kaidah Perkalian (rule of product).
Bila percobaan ke-1 mempunyai p hasil dan percobaan ke-2 mempunyai q hasil, maka bila percobaan 1 dan 2 dilakukan, maka hasilnya = pxq
Contoh 1 :
- Ada 4 orang pria dan 3 orang wanita. Ada brp cara memilih 1 pria dan 1 wanita ?
Jawab :
Ada 4 kemungkinan memilih 1 pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wanita. Jika dipilih 1 pria dan 1 wanita, maka jumlah kemungkinan = 3 x 4 = 12
- Kaidah Penjumlahan (rule of sum)
- Bila percobaan ke-1 mempunyai p hasil dan percobaan ke-2 mempunyai q hasil, maka bila hanya satu percobaan salah satu saja yang dilakukan (percobaan 1 atau 2), maka kemungkinan hasil = p+q
Contoh 2 :
- Ada 4 orang pria dan 3 orang wanita. Ada brp cara memilih 1 orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak peduli pria atau wanita).
Jawab :
- Ada 4 kemungkinan memilih 1 pria dan 3 kemungkinan memilih 1 wanita. Jika 1 orang yang dipilih, maka jumlah kemungkinan = 4+3=7.
- Faktorial.
- n! (n factorial), n! = n (n-1) (n-2) … (n(n-1)).
- Contoh :
- 4! = 4x3x2x1 = 24.
- 3! = 3x2x1 = 6.
- 1! = 1.
- 0! = 1.
- Permutasi
- Permutasi adalah pengaturan obyek-obyek kedalam urutan berbeda dimana susunan obyek diperhatikan. (Susunan AB¹BA).
Notasi :
- P(n,r) atau nPr
- n!
- P(n,r) = ----------
- (n–r)!
- Jika r=n, maka :
- n! n!
- P(n,n) = ---------- = ------- = n!
- (n-n)! 0!
- Contoh (1) :
- Pengurus organisasi akan membentuk panitia beranggotakan 3 orang dari 3 orang calon (ABC). Berapa banyak macam pasangan yang bisa dipilih ?
Jawab :
- R = n = 3
- P(3,3) = 3! = 6.
- Macam pasangan : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
- Contoh (2) :
- Sidang MPR akan memilih presiden dan wakilnya. Ada 5 calon presiden dan wapres (ABCDE). Berapa banyak macam pasangan yang bisa dipilih ?
- Jawab :
- 5 ! 5!
- P(5,2) = -------- = ----- = 20.
- (5–2)! 3!
- Macam pasangan :
- AB, AC, AD, AE BC, BD, BE CD, CE DE
- BA, CA, DA, EA CB, DB, EB DC, EC ED
- Permutasi dengan pengulangan :
- n!
- P(n ; r1,r2,r3, … ) = ---------------
- r1! r2! r3! …
- Contoh :
- Ada 12 karton akan yang diwarnai : 3 warna hijau, 2 warna merah, 2 warna kuning, dan sisanya warna biru, berapa jumlah cara pengecatannya ?
- n=12, r1 (H)=3, r2 (M)=2, r3 (K)=2, r4 (K)=5,
- 12!
- m = -------------- = 166.320.
- 3! 2! 2! 5!
2.Berapa macam susunan string ABA ? Dgn percobaan : ABA, AAB, BAA shg m=3. Dgn rumus m = .......
3.Berapa macam susunan string KATAK ?
4.Berapa macam susunan string JAYAKARTA ?
5.Berapa macam susunan string KUKUKAKIKU ?
- Kombinasi
- Kombinasi merupakan pengurutan obyek-obyek dgn susunan diabaikan. Susunan AB=BA.
- Kombinasi r dari n obyek dinotasikan dengan :
- C(n,r) = nCr, dimana :
- n!
- C(n,r) = ------------
- r! (n-r)!Contoh (1) :
- John akan membeli 2 PC. Di toko terdapat 4 PC. Ada berapa pilihan bagi John ? PC={P,Q,R,S}
- n=4, r=2, maka :
4! 4!
- C(4,2) = ------------ = ------- = 6
- (4–2)! 2! 2! 2!
- Pilihan : PQ, PR, PS, QR, QS, RS.
Contoh (2) :
- Ada 5 orang (ABCDE) peserta tes yang akan mengikuti wawancara. Setiap wawancara dipanggil 3 orang utk masuk ke ruang tes. Ada berapa cara pemanggilan ?
5! 5!
- C(5,3) = ------------ = ------- = 10.
- (5–3)! 3! 2! 3!
- Susunannya adalah :
- ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.
Kombinasi dengan pengulangan
- C(n+r–1, r) adalah kombinasi yang memperbolehkan adanya pengulangan elemen, yaitu dari n buah obyek akan diambil r buah objek.
Contoh (3) :
- Dua koin dilempar bersama-sama, berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin.
- Jawab :
- C(2+2–1, 2) = C(3,2) = 3
- Hasil : TT, TH, HH
Contoh (4) :
- Dua dadu dilempar bersama-sama, berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin ?
- Jawab :
- C (6+2–1, 2 ) = C(7,2) = 21.
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3-3 3-4 3-5 3-6
4-4 4-5 4-6
5-5 5-6
6-6
Contoh (5) :
- Tiga buah dadu dilempar bersamaan. Berapa banyak-nya hasil berbeda yang mungkin ?
- Jawab :
- C (6+3–1, 3 ) = C(8,3) = 56.
Contoh (6) :
- Pak Yanto akan membeli 2 ayam dan 1 sapi dari pe-dagang. Pedagang memiliki 3 ayam dan 2 sapi. Ada berapa macam pilihan bagi Pak Yanto ?
- Jawab :
- Ayam : A1, A2, A3.
- Sapi : S1, S2.
- Alternatif :
- A1-A2-S1, A1-A3-S1, A2-A3-S1,
- A1-A2-S2, A1-A3-S2, A2-A3-S2,
- Ada 6 pilihan.
m = n1 C r1 x n2 C r2 x …
- n1=3, r1=2.
- n2=2, r2=1.
- m = 3C2. 2C1 = 3(2) = 6.
0 komentar:
Post a Comment